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第五百九十三章 高斯－博内－陈定理曲面几何（第1页）

1827年，高斯证明了这一定理。

1944年，博内将这一定理推广到一般曲面上，由任一闭曲线C围成的单连通区域，形成了着名的高斯-博内公式.

1944年，陈省身给出了高斯-博内公式的内藴证明.

欧拉数虽然神秘有趣，可还是引不起数学家们的强烈兴趣，原因是它太简单了，小学生都可以很快弄懂这些数的来源，那个时代的数学家们总是希望有个积分，微分什么的，以显示其高深莫测，高斯那时候正在研究曲面和曲线的几何学，对于各种曲率玩得和吃饭喝水似的，这个时候人们还没有意识到弯曲可以是几何的内蕴性质，而一般考虑嵌入曲率，第一个认识到弯曲可以不需要嵌入的人是黎曼.

某天，对于没有边界的二维曲面，高斯搞了一个曲率做了一个积分，他发现，他能够计算出欧拉数!很快他把这个公式推广到带边界（二维面上有洞的情形）的二维曲面，同样得到了相应的欧拉数.

高斯当时应该是没有认识到这个公式的巨大作用，以至于他懒得去发表这样的结果，他认为这种工作对他而言太简单了，只和弟子们稍微讨论了一下，然后，就转去研究别的东西去了，可见这些宗师级的人物也有走眼的时候，几年以后，博内得到了同样的结果.

令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯-博内公式的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道.

高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系，而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在还可以得到经典的高斯-博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了，虽然过程不尽善尽美，然而，并没有脱离这个系列的核心:几何直观.

在曲面上的形状：角差变量=曲率K上的面积大小的积分。

变化量则表示为面积分。

这就是微分几何中的高斯-博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面积分，诸如球面三角形的内角和等内容都与它有关，它是整体微分几何的开山之作之一

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